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Activités préparatoires#

Le binaire et l'écriture des nombres

Activité 1 Les cartes à points#

compter avec des cartes qu’on montre ou qu’on cache

Durée : 25 min · Par binômes, sans machine

Consignes

  • Les réponses s’écrivent sur le cahier. Matériel : 5 cartes portant 1, 2, 4, 8 et 16 points (au dos : rien), posées dans cet ordre, de droite à gauche.

  • Règle du jeu : une carte est soit montrée (on compte ses points), soit cachée (elle ne compte pas). Le nombre représenté est le total des points visibles.

  • L’un annonce un nombre, l’autre retourne les cartes pour le représenter ; on échange les rôles à chaque question.

Exercice 1 — Observer les cartes #

  1. Comment passe-t-on du nombre de points d’une carte à celui de la carte placée à sa gauche ?

  2. Si l’on ajoutait une sixième carte à gauche, combien de points porterait-elle ?

Corrigé

1. Chaque carte porte le double de la carte à sa droite.
2. \(2 \times 16 = 32\) points.

Exercice 2 — Représenter des nombres #

Ci-dessous, la configuration cachée, montrée, cachée, montrée, montrée représente \(8 + 2 + 1 = 11\). On la note 01011 : 1 pour une carte montrée, 0 pour une carte cachée.

  1. Représenter avec les cartes, puis noter sur le cahier avec des 0 et des 1, les nombres 5, 9, 21 et 30.

  2. Dans l’autre sens, quels nombres représentent 10010, 00111 et 11111 ?

  3. Quel est le plus petit nombre qu’on peut représenter ? le plus grand ?

  4. Peut-on représenter tous les nombres entre ces deux-là ? Un même nombre peut-il s’obtenir de deux façons différentes ? Essayer avec 6, 13, 27.

  5. Combien de configurations différentes (montrée/cachée) existe-t-il pour 5 cartes ? Comparer avec la question 5.

Corrigé

3. \(5 = 4 + 1 = \texttt{00101}\) ; \(9 = 8 + 1 = \texttt{01001}\) ; \(21 = 16 + 4 + 1 = \texttt{10101}\) ; \(30 = 16 + 8 + 4 + 2 = \texttt{11110}\).
4. \(\texttt{10010} = 16 + 2 = 18\) ; \(\texttt{00111} = 4 + 2 + 1 = 7\) ; \(\texttt{11111} = 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 31\).
5. Le plus petit : 0 (toutes les cartes cachées) ; le plus grand : 31 (toutes montrées).
6. Oui, tous les nombres de 0 à 31 s’obtiennent, et d’une seule façon : \(6 = \texttt{00110}\), \(13 = \texttt{01101}\), \(27 = \texttt{11011}\). Méthode qui émerge souvent : on part de la plus grosse carte, on la montre si elle « ne dépasse pas », et on continue avec ce qui reste.
7. Chaque carte a 2 états : \(2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32\) configurations. C’est exactement le nombre d’entiers de 0 à 31 : chaque configuration correspond à un nombre et un seul.

Exercice 3 — Compter, ajouter une carte #

  1. Compter de 0 à 8 en retournant les cartes, et noter chaque configuration sur le cahier, en continuant la suite : 0 = 00000, 1 = 00001, 2 = … jusqu’à 8. Que fait la carte « 1 point » à chaque étape ? Que se passe-t-il quand on passe de 7 à 8 ?

  2. On ajoute la sixième carte (question 2). Quel est maintenant le plus grand nombre représentable ? Et avec 8 cartes ?

  3. Remarquer : le plus grand nombre avec 5 cartes, plus 1, donne… quoi ?

Corrigé

8. 2 = 00010, 3 = 00011, 4 = 00100, 5 = 00101, 6 = 00110, 7 = 00111, 8 = 01000. La carte « 1 point » se retourne à chaque étape. De 7 à 8, les trois cartes de droite se cachent toutes et la carte « 8 » apparaît : c’est une retenue, comme 999 + 1 = 1000 en décimal.
9. Avec 6 cartes : \(31 + 32 = 63\). Avec 8 cartes : \(1 + 2 + \cdots + 128 = 255\).
10. \(31 + 1 = 32\) : la carte suivante. Avec \(n\) cartes, le plus grand nombre est \(2^n - 1\).

Exercice 4 — Des cartes aux interrupteurs #

Dans un ordinateur, il n’y a pas de cartes, mais des milliards de minuscules interrupteurs (les transistors) : le courant passe, ou ne passe pas.

  1. Une rangée de 5 lampes affiche : éteinte, allumée, allumée, éteinte, allumée. En la lisant comme les cartes, quel nombre transmet-elle ?

  2. Pourquoi est-il plus sûr de n’utiliser que deux états (allumé / éteint) plutôt que dix niveaux de luminosité différents ?

  3. Mettre des mots. Recopier et compléter sur le cahier : « Chaque carte ne peut valoir que …… états. Les points des cartes sont les puissances de …… : 1, 2, 4, 8, 16… Avec \(n\) cartes, on représente …… nombres différents, de 0 à ……. Écrire un nombre avec des 0 et des 1, c’est l’écrire en ……. »

Corrigé

11. \(\texttt{01101} = 8 + 4 + 1 = 13\).
12. Avec deux états, il suffit de savoir s’il y a du courant ou non : même si la tension varie un peu (bruit, usure, température), on ne se trompe pas. Dix niveaux proches seraient facilement confondus.
13. « Chaque carte ne peut valoir que deux états. Les points des cartes sont les puissances de 2. Avec \(n\) cartes, on représente \(\mathbf{2^n}\) nombres différents, de 0 à \(\mathbf{2^n - 1}\). Écrire un nombre avec des 0 et des 1, c’est l’écrire en binaire (base 2). »