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Exercices#

Localisation, cartographie et mobilité

Mode d’emploi

  • Niveau : ★ échauffement, ★★ classique (niveau bac), ★★★ défi ; les coups de pouce et les corrigés se déplient sous chaque exercice.

  • sur papier à faire sur papier ; sur machine à faire sur machine (carte en ligne).

  • Rappels : \(1^\circ = 60'\) ; distance \(= c \times\) temps, avec \(c \approx 300\,000\) km/s.

  • Usage de l’IA, indiqué sur chaque exercice : aucune ; en appui (déboguer, reformuler, vérifier ; la réponse finale est écrite et comprise par vous) ; l’exercice s’appuie sur une réponse d’IA. Voir la charte d’usage de l’IA.

Latitude et longitude#

★ Exercice 1 — Nord ou Sud, Est ou Ouest ? #

• essentiel

sur papier

  1. Que vaut la latitude d’un point situé sur l’équateur ? la longitude d’un point sur le méridien de Greenwich ?

  2. Entre quelles valeurs varie une latitude ? une longitude ?

  3. Monaco est à \((43{,}7384\,;\ 7{,}4246)\). Dire, pour chaque nombre, s’il s’agit de la latitude ou de la longitude, et préciser Nord/Sud et Est/Ouest.

Coup de pouce

Relisez la définition de la latitude et de la longitude au début du cours : à partir de quelle ligne chacune est-elle mesurée, et entre quelles valeurs ?

Corrigé

Réponses aux questions fermées ; pour les questions ouvertes ou les relevés sur machine, des pistes attendues.

Activité 1 — Trilatération à la règle et au compas

Corrigée dans le cours, juste après l’énoncé : le randonneur est au point \(\mathbf{(4\,;3)}\) (à \(5\) km de A, \(3\) km de B et \(4\) km de C).

Activité 2 — Sur une carte en ligne

1. et 2. Relevés personnels (pour un lycée de Monaco, la latitude est proche de \(43{,}7^\circ\) N et la longitude de \(7{,}4^\circ\) E). 3. La distance « à vol d’oiseau » est plus courte : c’est la ligne droite, alors que l’itinéraire suit les routes, avec leurs virages, les sens interdits et le relief (à Monaco, beaucoup de rues en lacets).

Activité 3 — Enquête sur mes traces

1. Réponse personnelle (par exemple : cartes, météo, réseau social, appareil photo). 2. Recoupées, les positions enregistrées révèlent le domicile, le lycée, les trajets et les habitudes ; stockées chez une entreprise, elles peuvent être revendues, piratées ou servir à suivre quelqu’un. 3. Par exemple : couper la localisation quand elle est inutile ; n’autoriser une application que « pendant l’utilisation » ; effacer l’historique des positions ; retirer les métadonnées d’une photo avant de la publier.

Activité 4 — Localisation et sobriété

1. Les trois : le terminal (le téléphone calcule sa position à partir des signaux des satellites et affiche la carte), les réseaux (données mobiles ou Wi-Fi) et les centres de données (fonds de carte, calcul de l’itinéraire, état du trafic). 2. En arrière-plan, le récepteur GPS et les liaisons radio fonctionnent sans arrêt : la batterie se vide plus vite (et une batterie usée trop tôt pousse à changer de téléphone) ; dans le même temps, les positions sont enregistrées et envoyées en continu, ce qui grossit les traces sur la vie privée. 3. Les deux gestes cités dans l’énoncé conviennent ; autres exemples : couper la localisation quand on ne s’en sert pas, désactiver l’historique des positions.

  1. Sur l’équateur, la latitude vaut \(0^\circ\) ; sur le méridien de Greenwich, la longitude vaut \(0^\circ\).

  2. Latitude : de \(-90^\circ\) (pôle Sud) à \(+90^\circ\) (pôle Nord). Longitude : de \(-180^\circ\) à \(+180^\circ\).

  3. \(43{,}7384\) est la latitude (Nord) ; \(7{,}4246\) est la longitude (Est).

★ Exercice 2 — Trois villes sur le globe #

sur papier Voici les coordonnées (latitude ; longitude), en degrés décimaux, de trois villes : Monaco \((43{,}74\,;\ 7{,}42)\), Rio de Janeiro \((-22{,}91\,;\ -43{,}17)\) et Tokyo \((35{,}68\,;\ 139{,}69)\).

  1. Quelle ville est dans l’hémisphère Sud ?

  2. Quelle ville est à l’ouest du méridien de Greenwich ?

  3. Ranger les trois villes de la plus au nord à la plus au sud.

Coup de pouce

D’après la définition du cours, que signifie une latitude négative ? Une longitude négative ? Pour la question 3, comparez les latitudes.

Corrigé

  1. Rio de Janeiro : sa latitude est négative (\(-22{,}91\)), donc au sud de l’équateur.

  2. Rio de Janeiro : sa longitude est négative (\(-43{,}17\)), donc à l’ouest de Greenwich.

  3. Du nord au sud (latitude décroissante) : Monaco (\(43{,}74\)), Tokyo (\(35{,}68\)), Rio de Janeiro (\(-22{,}91\)).

★★ Exercice 3 — Degrés, minutes et degrés décimaux #

• essentiel

sur papier On rappelle que \(1^\circ = 60'\).

  1. Convertir en degrés décimaux : \(45^\circ\,30'\) ; \(12^\circ\,15'\) ; \(43^\circ\,44{,}304'\).

  2. Convertir en degrés et minutes : \(6{,}25^\circ\) ; \(7{,}5^\circ\).

Coup de pouce

Les minutes sont des soixantièmes de degré : pour convertir des minutes en degrés, divisez par \(60\). Dans l’autre sens, multipliez la partie décimale par \(60\).

Corrigé

  1. \(45^\circ 30' = 45 + \tfrac{30}{60} = 45{,}5^\circ\) ; \(12^\circ 15' = 12 + \tfrac{15}{60} = 12{,}25^\circ\) ; \(43^\circ 44{,}304' = 43 + \tfrac{44{,}304}{60} \approx 43{,}7384^\circ\).

  2. \(6{,}25^\circ = 6^\circ + 0{,}25\times 60' = 6^\circ 15'\) ; \(7{,}5^\circ = 7^\circ 30'\).

▷ Erreur fréquente. Écrire \(45^\circ\,30' = 45{,}30^\circ\) : les minutes sont des soixantièmes de degré, pas des centièmes. \(30'\), c’est la moitié de \(60'\), donc \(0{,}5^\circ\).

★★★ Exercice 4 — Des degrés aux kilomètres #

≈ 15 min

sur papier On admet qu’un écart de \(1^\circ\) de latitude correspond, sur le terrain, à environ \(111\) km (en se déplaçant vers le nord ou vers le sud).

  1. Un randonneur part de Monaco \((43{,}74\,;\ 7{,}42)\) et marche plein nord jusqu’au point \((44{,}24\,;\ 7{,}42)\). Quelle distance a-t-il parcourue, à vol d’oiseau ?

  2. À combien de kilomètres correspond une minute (\(1'\)) de latitude ?

  3. Une application affiche la latitude avec quatre décimales (\(0{,}0001^\circ\) près). À quelle distance sur le terrain cela correspond-il ? Est-ce assez précis pour retrouver une maison ?

Coup de pouce

Commencez par calculer l’écart de latitude entre les deux points, puis utilisez la proportionnalité : \(1^\circ\) correspond à \(111\) km.

Coup de pouce 2 (début de solution)

Question 1 : l’écart vaut \(44{,}24 - 43{,}74 = 0{,}5^\circ\). Question 2 : une minute, c’est \(1/60\) de degré. Question 3 : \(0{,}0001^\circ\), c’est un dix-millième de degré.

Corrigé

  1. Écart de latitude : \(44{,}24 - 43{,}74 = 0{,}5^\circ\), soit \(0{,}5 \times 111 \approx \mathbf{55{,}5}\) km (la longitude ne change pas : il marche plein nord).

  2. \(1' = \tfrac{1}{60}\) de degré : \(111 \div 60 \approx \mathbf{1{,}85}\) km (c’est le « mille nautique » des marins).

  3. \(0{,}0001 \times 111 = 0{,}0111\) km \(\approx \mathbf{11}\) m. C’est assez précis pour repérer une maison ou une entrée d’immeuble (et c’est l’ordre de grandeur de la précision réelle d’un GPS de téléphone, quelques mètres).

Le GPS et la trilatération#

★ Exercice 5 — Du temps à la distance #

• essentiel

sur papier Un signal met \(0{,}06\) seconde pour parvenir d’un satellite au récepteur.

  1. À quelle distance (en km) le récepteur se trouve-t-il de ce satellite ?

  2. Que devrait mesurer le récepteur pour calculer ce temps de trajet ?

Coup de pouce

Relisez la règle « Du temps à la distance » du cours et l’exemple qui la suit.

Corrigé

  1. \(d = c \times t = 300\,000 \times 0{,}06 = \mathbf{18\,000}\) km.

  2. Il doit mesurer le temps de trajet : comparer l’heure d’envoi (contenue dans le message) à l’heure de réception — d’où le besoin d’une horloge précise.

★★ Exercice 6 — La précision des horloges #

sur papier Le signal d’un satellite voyage à \(300\,000\) km/s.

  1. Quelle distance parcourt-il en un millième de seconde (\(0{,}001\) s) ? En un millionième de seconde (\(0{,}000\,001\) s) ?

  2. L’horloge d’un récepteur avance d’un millième de seconde. Quelle erreur sur la distance au satellite cela provoque-t-il ?

  3. En déduire pourquoi les satellites embarquent des horloges atomiques, et pourquoi le récepteur capte un quatrième satellite.

Coup de pouce

Distance \(=\) vitesse \(\times\) temps, comme dans l’exercice précédent. Une erreur sur le temps de trajet devient une erreur sur la distance, multipliée par \(300\,000\).

Corrigé

  1. En \(0{,}001\) s : \(300\,000 \times 0{,}001 = \mathbf{300}\) km. En \(0{,}000\,001\) s : \(300\,000 \times 0{,}000\,001 = 0{,}3\) km, soit 300 m.

  2. Une avance d’un millième de seconde fausse le temps de trajet d’autant : l’erreur sur la distance est de 300 km — la position serait complètement fausse.

  3. Une toute petite erreur de temps donne une énorme erreur de distance : il faut des horloges extrêmement précises (atomiques) dans les satellites. L’horloge d’un téléphone, elle, n’est pas assez précise : le quatrième satellite sert à calculer et corriger son erreur.

★★ Exercice 7 — Combien de satellites ? #

• essentiel

sur papier

  1. Avec la distance à un seul satellite, que peut-on dire de la position (en 3D) ?

  2. Pourquoi trois distances permettent-elles (sur une carte, en 2D) de fixer un point ?

  3. En pratique, pourquoi capte-t-on un quatrième satellite ?

Coup de pouce

Connaître sa distance à un satellite place le récepteur sur une sphère centrée sur ce satellite. Que donne l’intersection de deux sphères ? de trois ?

Corrigé

  1. Avec un seul satellite, on sait seulement qu’on est sur une sphère (à distance fixée) autour de lui.

  2. Deux cercles se coupent en deux points ; le troisième lève l’ambiguïté et laisse un point.

  3. Le 4e satellite sert à corriger l’erreur de l’horloge du récepteur.

★★ Exercice 8 — Trilatération sur quadrillage #

sur papier Sur un quadrillage, on place trois balises : A\((0\,;0)\), B\((6\,;0)\), C\((0\,;6)\) (unités en km). Un promeneur est à \(5\) km de A, \(\sqrt{13}\approx 3{,}6\) km de B et \(5\) km de C.

  1. Tracer les trois cercles (compas, à l’échelle) centrés en A, B, C.

  2. Lire les coordonnées du point commun aux trois cercles : c’est la position du promeneur.

Coup de pouce

Le rayon de chaque cercle est la distance à la balise. Choisissez une échelle simple (par exemple \(1\) cm pour \(1\) km), puis vérifiez le point trouvé avec les trois distances.

Corrigé

Le point commun aux trois cercles est \(\mathbf{(4\,;\,3)}\). Vérification : distance à A\((0;0)\) \(=\sqrt{4^2+3^2}=5\) ; à C\((0;6)\) \(=\sqrt{4^2+3^2}=5\) ; à B\((6;0)\) \(=\sqrt{(-2)^2+3^2}=\sqrt{13}\approx 3{,}6\). ✓

Décoder une trame NMEA#

★★★ Exercice 9 — Que dit le GPS ? #

≈ 20 min

sur papier On capte la trame suivante :

$GPGGA,142012,4342.054,N,00716.098,E,1,06,1.2,10.0,M,,,,*20

  1. Donner l’heure (UTC) de la mesure.

  2. Donner la latitude et la longitude en degrés-minutes, puis les convertir en degrés décimaux (arrondir à \(0{,}0001\)).

  3. Combien de satellites ont été utilisés ?

  4. Recherche : à quelle ville de la Côte d’Azur ces coordonnées correspondent-elles ?

Coup de pouce

Les informations sont séparées par des virgules, toujours dans le même ordre : heure, latitude, N/S, longitude, E/O, …, nombre de satellites. Relisez le tableau de la trame dans le cours.

Coup de pouce 2 (début de solution)

Dans 4342.054, les deux premiers chiffres sont les degrés et le reste les minutes : \(43^\circ\,42{,}054'\), soit \(43 + 42{,}054 / 60\). Pour la longitude 00716.098, les degrés occupent les trois premiers chiffres.

Corrigé

  1. 142012 \(\to\) 14 h 20 min 12 s (UTC).

  2. Latitude 4342.054,N \(= 43^\circ 42{,}054'\) N \(= 43 + \tfrac{42{,}054}{60} \approx \mathbf{43{,}7009^\circ}\) N. Longitude 00716.098,E \(= 7^\circ 16{,}098'\) E \(= 7 + \tfrac{16{,}098}{60} \approx \mathbf{7{,}2683^\circ}\) E.

  3. 06 : 6 satellites utilisés.

  4. Ces coordonnées correspondent à Nice.

▷ Erreur fréquente. Lire 4342.054 comme \(43{,}42054^\circ\) : après les deux chiffres des degrés viennent des minutes (\(42{,}054'\)), qu’il faut diviser par \(60\).

Cartes numériques et itinéraires#

★★ Exercice 10 — Le plus court chemin #

• essentiel

sur papier On modélise un réseau routier par le graphe suivant (distances en km) :

  1. Donner deux itinéraires possibles de A à E et leur longueur totale.

  2. Quel est le plus court chemin de A à E ? Quelle est sa longueur ? Est-ce aussi celui qui passe par le moins de carrefours ?

  3. En quoi ce graphe ressemble-t-il à ce que calcule une application GPS ?

Coup de pouce

Listez tous les chemins de A à E qui ne repassent jamais par un même sommet, puis additionnez les distances de chacun.

Corrigé

  1. Par exemple A–B–D–E \(= 3+7+4 = 14\) km ; A–C–F–E \(= 2+5+8 = 15\) km.

  2. Il n’y a que quatre chemins de A à E sans repasser par un même sommet : A–B–D–E (\(14\) km), A–C–F–E (\(15\) km), A–C–F–D–E (\(2+5+2+4 = 13\) km) et A–B–D–F–E (\(3+7+2+8 = 20\) km). Le plus court est A–C–F–D–E, de longueur 13 km. Ce n’est pas celui qui passe par le moins de carrefours (A–B–D–E n’a que deux étapes intermédiaires, mais mesure \(14\) km) : seule la somme des poids compte.

    ▷ Erreur fréquente. S’arrêter aux deux chemins de la question 1 sans chercher les autres : le plus court (A–C–F–D–E) fait un détour par F et D. Il faut lister tous les chemins avant de conclure.

  3. Une application GPS modélise de même le réseau routier par un graphe (carrefours = sommets, routes pondérées) et cherche le trajet de somme minimale.

★★★ Exercice 11 — Le chemin le plus rapide #

≈ 15 min

sur papier Pour aller de A à D, deux itinéraires sont possibles (distance et vitesse moyenne sur chaque tronçon) :

  1. Quel est l’itinéraire le plus court ?

  2. Calculer la durée de chaque itinéraire, en minutes. Lequel est le plus rapide ?

  3. Un bouchon fait tomber la vitesse moyenne sur l’autoroute à \(40\) km/h. Quel itinéraire une application de navigation conseille-t-elle alors ? Justifier.

Coup de pouce

Durée (en heures) \(=\) distance divisée par vitesse ; multipliez ensuite par \(60\) pour obtenir des minutes. Calculez la durée de chaque tronçon, puis additionnez.

Coup de pouce 2 (début de solution)

Tronçon A–B : \(30 \div 120 = 0{,}25\) h, soit \(0{,}25 \times 60 = 15\) min. Faites de même pour les trois autres tronçons.

Corrigé

  1. A–B–D \(= 30 + 10 = 40\) km ; A–C–D \(= 12 + 8 = 20\) km : le plus court est A–C–D.

  2. A–B–D : \(30 \div 120 = 0{,}25\) h \(= 15\) min, puis \(10 \div 60 \approx 0{,}167\) h \(= 10\) min, soit 25 min. A–C–D : \(12 \div 40 = 0{,}3\) h \(= 18\) min, puis \(8 \div 40 = 0{,}2\) h \(= 12\) min, soit 30 min. Le plus rapide est A–B–D, bien qu’il soit deux fois plus long.

  3. Avec le bouchon : A–B dure \(30 \div 40 = 0{,}75\) h \(= 45\) min, donc A–B–D dure \(55\) min. L’application conseille alors A–C–D (\(30\) min). Elle cherche le chemin de durée minimale, recalculée avec le trafic en temps réel : le meilleur chemin dépend du « poids » choisi pour les arêtes (distance ou durée).

★★ Exercice 12 — Sur une vraie carte #

sur machine Ouvrir une carte en ligne (Géoportail ou openstreetmap.org). Calculer l’itinéraire entre le Musée océanographique et le stade Louis-II, à Monaco, à pied, puis en voiture : relever chaque fois la distance et la durée proposées. Pourquoi les deux trajets ne sont-ils pas les mêmes ?

Coup de pouce

Sur OpenStreetMap, le bouton d’itinéraire (les flèches) calcule le trajet, et le mode de déplacement se choisit dans sa fenêtre. Demandez-vous quels passages un piéton peut emprunter et pas une voiture.

Corrigé

Relevés sur machine : les valeurs varient selon l’application. L’application calcule un plus court chemin dans un graphe qui dépend du mode de déplacement : à pied, elle peut emprunter escaliers, ascenseurs publics et rues piétonnes, interdits aux voitures ; en voiture, elle doit suivre les rues ouvertes à la circulation et respecter les sens interdits. Les deux trajets, leurs longueurs et surtout leurs durées (la vitesse n’est pas la même) diffèrent donc.

GNSS et vie privée#

★ Exercice 13 — Pas seulement le GPS #

sur papier

  1. Citer, en plus du GPS américain, deux autres systèmes de positionnement par satellites.

  2. Pourquoi le GPS fonctionne-t-il mal à l’intérieur d’un bâtiment ? Comment le téléphone se localise-t-il alors ?

Coup de pouce

Relisez la règle sur les GNSS et l’encadré « Localisation assistée » du cours.

Corrigé

  1. GLONASS (Russie), Galileo (Europe), BeiDou (Chine).

  2. En intérieur, les signaux des satellites sont bloqués par les murs. Le téléphone se localise alors grâce aux antennes-relais et aux réseaux Wi-Fi environnants (plus rapide, moins précis).

★ Exercice 14 — Mes traces #

• essentiel

sur papier Voici un extrait, simplifié, de l’historique de localisation enregistré par le téléphone de Léa pendant une semaine. Son nom n’y figure nulle part.

Quand ? Où ?
toutes les nuits, de 21 h à 7 h toujours le même immeuble d’habitation
du lundi au vendredi, de 8 h à 16 h un lycée
le mercredi, de 17 h à 19 h une piscine
le jeudi, de 10 h à 11 h un cabinet médical

  1. Que peut-on déduire de ces traces sur Léa ? Pourquoi sont-elles des données personnelles, alors que son nom n’y figure pas ?

  2. Léa publie une photo de son chat, prise chez elle avec son téléphone. Comment un inconnu pourrait-il retrouver son adresse, alors que rien sur l’image ne la montre ?

  3. Trois applications demandent à accéder à la localisation de Léa : une lampe de poche, une application de navigation et l’application qui permet de retrouver son téléphone en cas de perte ou de vol. Pour chacune, quel réglage lui conseiller (« toujours », « seulement pendant l’utilisation » ou « jamais ») ? Justifier.

Coup de pouce

Relisez la section « Localisation et vie privée » du cours : ce que révèlent des traces recoupées, les métadonnées d’une photo, puis la règle « Reprendre la main ». Pour la question 3, demandez-vous si l’application a vraiment besoin de savoir où est Léa pour fonctionner, et à quel moment.

Corrigé

  1. On devine son domicile (le lieu de toutes ses nuits), qu’elle est lycéenne et dans quel lycée, qu’elle fait de la natation le mercredi, et même une information de santé (un rendez-vous médical), particulièrement sensible. Recoupées, ces traces désignent une seule personne : très peu de gens dorment dans cet immeuble et vont dans ce lycée et dans cette piscine. Elles permettent donc d’identifier Léa et de la suivre : ce sont des données personnelles, même sans son nom.

  2. Par les métadonnées EXIF de la photo : prise au smartphone, elle contient souvent les coordonnées GPS du lieu de la prise de vue, c’est-à-dire son domicile. Il suffit de télécharger le fichier pour les lire, sauf si Léa les a retirées avant de publier.

  3. Lampe de poche : « jamais », elle n’a aucun besoin de la position. Navigation : « seulement pendant l’utilisation », elle en a besoin pour guider, mais pas une fois fermée. Retrouver son téléphone : « toujours » se justifie, car l’application doit pouvoir localiser le téléphone perdu, quand personne ne l’utilise ; c’est un choix à réserver à un service de confiance. En plus : effacer régulièrement l’historique des positions.

Localisation et environnement#

★★ Exercice 15 — Le coût caché d’un itinéraire #

sur papier On s’appuie sur l’encadré « Le coût d’une localisation permanente » du cours. Une application de course à pied enregistre la position de Nora toutes les secondes pendant ses sorties et envoie le parcours à ses serveurs. On suppose qu’un point (heure, latitude, longitude) occupe environ \(30\) octets.

  1. Nora court \(1\) heure, trois fois par semaine. Combien de points sont enregistrés pendant une sortie ? Quel volume de données cela représente-t-il pour une sortie, puis pour une année (\(52\) semaines) ? Donner le résultat en mégaoctets (\(1\) Mo \(= 10^6\) octets).

  2. Ce volume est modeste. Pourquoi ces traces posent-elles pourtant une question de vie privée ? Où sont-elles stockées ?

  3. Une application de navigation affiche le trafic en temps réel. Pourquoi cela sollicite-t-il des centres de données et des réseaux, alors que le calcul de la position GPS, lui, se fait dans le téléphone ?

  4. Proposer deux gestes de sobriété liés à l’usage des cartes et de la localisation (pensez aussi à la batterie), et justifier leur effet.

Coup de pouce

Question 1 : une heure compte \(3\,600\) secondes ; multipliez ensuite par la taille d’un point, puis par le nombre de sorties dans l’année. Question 3 : la position est calculée dans le téléphone, mais d’où viennent les informations sur le trafic ?

Corrigé

  1. Une sortie d’une heure : \(3\,600\) secondes, donc \(\mathbf{3\,600}\) points, soit \(3\,600 \times 30 = 108\,000\) octets \(\approx \mathbf{0{,}1}\) Mo. Sur une année : \(3 \times 52 = 156\) sorties, soit \(156 \times 108\,000 = 16\,848\,000\) octets \(\approx \mathbf{17}\) Mo.

  2. Ces traces sont des données personnelles : recoupées, elles révèlent le domicile (point de départ), les horaires et les habitudes de Nora. Elles sont stockées sur les serveurs de l’application (dans des centres de données), souvent sans limite de durée, et peuvent être partagées, revendues ou piratées.

  3. Le trafic en temps réel (et les fonds de carte, les itinéraires calculés en ligne) sont des données servies par des serveurs : elles sont stockées et calculées dans des centres de données puis acheminées par les réseaux. Le GPS, lui, ne fait que recevoir des signaux et le téléphone calcule seul sa position.

  4. Par exemple : télécharger une carte hors-ligne une fois (en Wi-Fi) avant un trajet, ce qui évite de recharger les données à chaque usage ; n’autoriser la localisation que « pendant l’utilisation » de l’application et la couper quand elle est inutile, ce qui ménage la batterie (une batterie usée trop tôt pousse à changer de téléphone, alors que l’essentiel de son empreinte vient de la fabrication, comme on le verra au thème Objets connectés) et limite les traces envoyées aux serveurs.

Critiquer une réponse d’IA#

★★ Exercice 16 — Le GPS expliqué par un assistant #

sur papier Un élève a demandé à un assistant d’IA : « Comment mon téléphone connaît-il ma position grâce au GPS ? » Voici la réponse obtenue :

Une trentaine de satellites GPS tournent autour de la Terre ; chacun embarque une horloge atomique et connaît sa position. Votre téléphone envoie un signal radio vers les satellites ; chaque satellite mesure le temps mis par ce signal pour lui parvenir, calcule la distance (vitesse de la lumière \(\times\) temps de trajet, par exemple \(300\,000 \times 0{,}05 = 15\,000\) km) et renvoie cette distance au téléphone. Avec trois distances, le téléphone se place par trilatération ; un quatrième satellite sert à corriger l’erreur de son horloge. En intérieur, le signal est bloqué et le téléphone se rabat sur le Wi-Fi et les antennes-relais.

  1. La réponse est-elle correcte ? Vérifier le calcul, puis relire l’encadré « Du temps à la distance » du cours : qui envoie le signal, qui le reçoit ?

  2. Localiser et corriger l’erreur.

    Coup de pouce

    Relisez dans le cours ce que contient le message d’un satellite et ce que fait le récepteur, puis comparez avec le récit de l’assistant, phrase par phrase.

  3. Quelle vérification simple, faite avant de faire confiance à cette réponse, aurait suffi à détecter l’erreur ?

Corrigé

  1. Le calcul est juste (\(300\,000 \times 0{,}05 = 15\,000\) km), ainsi que la trilatération, le quatrième satellite et le repli sur le Wi-Fi. Mais le cours dit : chaque satellite « diffuse en permanence un message radio contenant l’heure exacte de l’envoi » et « le récepteur (votre téléphone) compare l’heure d’envoi à l’heure de réception ».

  2. L’erreur : le sens de la communication est inversé. Le téléphone n’envoie rien aux satellites : il ne fait que recevoir leurs messages, calcule lui-même sa distance à chacun, puis sa position. Correction : « chaque satellite diffuse l’heure d’envoi ; le téléphone la compare à l’heure de réception et en déduit la distance ».

  3. Un argument de bon sens suffisait : le GPS fonctionne sans réseau ni carte SIM (en mode avion, en pleine montagne), donc le téléphone ne peut qu’écouter. Ou relire, avant de croire l’assistant, la phrase du cours qui décrit ce que fait le récepteur.

Python au service du thème#

★★ Exercice 17 — Python au service du thème — convertir des coordonnées #

sur machine En Python (Spyder ou Basthon). Un récepteur GPS donne ses positions en degrés-minutes, alors qu’une carte en ligne les attend en degrés décimaux : programmons la conversion du cours.

  1. Écrire une fonction en_decimal(degres, minutes) qui renvoie la valeur en degrés décimaux. La tester : en_decimal(45, 30) doit renvoyer 45.5, et en_decimal(43, 44.304) la latitude de Monaco.

  2. Dans une trame, le sens est donné par une lettre : N ou S pour la latitude, E ou W (West, ouest) pour la longitude. Compléter la fonction suivante, qui renvoie une coordonnée négative au sud et à l’ouest :

    def coordonnee(degres, minutes, sens):
    valeur = en_decimal(degres, minutes)
    if ...:
        valeur = -valeur
    return valeur

  3. Rio de Janeiro est à \(22^\circ\,54{,}6'\) S et \(43^\circ\,10{,}2'\) W. Calculer ses coordonnées en degrés décimaux avec la fonction coordonnee, puis les comparer à celles de l’exercice « Trois villes sur le globe ». Utiliser enfin la fonction pour vérifier la question 2 de l’exercice « Que dit le GPS ? ».

Coup de pouce

Question 1 : relisez l’encadré « Degrés décimaux ou degrés-minutes » du cours et traduisez son calcul en Python. Question 2 : dans quels cas faut-il changer le signe ? Relisez comment on compare deux chaînes de caractères et comment on relie deux conditions.

Corrigé

1. Comme dans le cours, on divise les minutes par \(60\) avant de les ajouter aux degrés ; la priorité de la division sur l’addition évite les parenthèses.

def en_decimal(degres, minutes):
    return degres + minutes / 60

print(en_decimal(45, 30))       # 45.5
print(en_decimal(43, 44.304))   # 43.7384

2. On change le signe si le sens est S ou W :

def coordonnee(degres, minutes, sens):
    valeur = en_decimal(degres, minutes)
    if sens == "S" or sens == "W":
        valeur = -valeur
    return valeur

3. On appelle la fonction avec les données de Rio, puis avec celles de la trame :

print(coordonnee(22, 54.6, "S"))     # -22.91
print(coordonnee(43, 10.2, "W"))     # -43.17
print(coordonnee(43, 42.054, "N"))   # 43.7009
print(coordonnee(7, 16.098, "E"))    # 7.2683

Rio de Janeiro est en \((-22{,}91\,;\ -43{,}17)\) : ce sont exactement les coordonnées de l’exercice « Trois villes sur le globe », négatives car Rio est au sud de l’équateur et à l’ouest de Greenwich. La trame de l’exercice « Que dit le GPS ? » donne bien \(43{,}7009^\circ\) N et \(7{,}2683^\circ\) E (Nice).

▷ Erreur fréquente. Ne tester que le sud (if sens == "S":) : la latitude de Rio devient bien négative, mais sa longitude reste positive, \(43{,}17\) : on placerait Rio à l’est de Greenwich, dans l’océan Indien, au large de Madagascar. Il faut changer le signe dans les deux cas, reliés par or.