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Activités préparatoires#

Les k plus proches voisins

Activité 1 Quel est ce fruit ?#

classer un fruit inconnu d’après ceux qu’on connaît déjà

Durée : 25 min · Par binômes, sans machine

Consignes

  • Matériel : le graphique ci-dessous (à l’écran ou projeté), le cahier pour les réponses, une calculatrice.

  • Un primeur a mesuré 15 fruits dont il connaît la sorte : des mandarines (\(\circ\)), des oranges (\(\square\)) et des citrons (\(\triangle\)). Pour chacun, il a noté la largeur et la hauteur (en cm), et l’a placé comme un point sur le graphique.

  • Trois nouveaux fruits, A, B et C (\(\star\)), ont été mesurés, mais leur étiquette est tombée. Il faut deviner leur sorte uniquement à partir du graphique.

Exercice 1 — Lire le nuage de points #

  1. Décrire en une phrase où se trouvent les mandarines, les oranges, les citrons. Qu’est-ce qui distingue un citron d’une orange ? une orange d’une mandarine ?

  2. D’après vous, quelle est la sorte du fruit A ? Comment l’avez-vous décidé ?

Corrigé

1. Les mandarines sont petites (en bas à gauche, 4 à 6 cm dans les deux sens) ; les oranges sont grosses et rondes (en haut à droite, 7 à 10 cm) ; les citrons sont plus hauts que larges (en haut à gauche). Citron/orange : la forme (allongé ou rond) ; orange/mandarine : la taille.
2. A est une orange : il est au milieu des oranges (ses deux plus proches voisins, \((9\,;\,8)\) et \((8\,;\,9)\), sont à \(0{,}71\) cm, et ses 5 plus proches voisins sont tous des oranges). Dire « il est dans le paquet des oranges », c’est déjà l’idée de voisinage.

Exercice 2 — Demander aux voisins #

  1. Règle 1 : « un fruit inconnu est de la même sorte que le fruit connu le plus proche ». Quel est le fruit connu le plus proche de B ? Quelle sorte prédit la règle 1 ?

  2. Règle 3 : « on regarde les 3 fruits connus les plus proches, et on prend la sorte majoritaire ». Repérer ces 3 fruits autour de B (noter leurs coordonnées). Quelle sorte prédit la règle 3 ?

  3. Même question avec les 5 fruits les plus proches de B.

  4. Les règles ne sont pas d’accord ! Laquelle vous semble la plus fiable ? Que risque-t-on si l’on ne regarde qu’un voisin ? Et si l’on regardait les 15 fruits ?

Corrigé

3. Le plus proche de B est le citron \((6{,}5\,;\,9)\), à \(0{,}71\) cm : la règle 1 prédit citron.
4. Les 3 plus proches : le citron \((6{,}5\,;\,9)\) (\(0{,}71\) cm), l’orange \((8\,;\,9)\) (\(1{,}12\) cm), l’orange \((8\,;\,7{,}5)\) (\(1{,}41\) cm) : 2 oranges contre 1 citron, la règle 3 prédit orange.
5. Les 4e et 5e sont les citrons \((5{,}5\,;\,9{,}5)\) et \((6\,;\,10)\), tous deux à \(1{,}80\) cm : 3 citrons contre 2 oranges, on revient à citron.
6. B est à la frontière entre deux sortes : la réponse dépend du nombre de voisins consultés. Un seul voisin, c’est fragile : un fruit mal mesuré ou mal étiqueté suffit à tromper. Avec les 15 fruits, chaque sorte a 5 voix : égalité pour tous les fruits, la règle ne sert plus à rien. Il faut un nombre de voisins « raisonnable », petit devant le nombre d’exemples, et de préférence impair.

Exercice 3 — Le fruit qui fâche #

  1. À l’œil, quel est le fruit connu le plus proche de C ? Comparer avec le binôme voisin.

  2. Pour trancher sans se disputer, il faut mesurer « être proche ». Proposer une façon de mesurer l’écart entre deux points du graphique.

  3. Entre C et la mandarine de coordonnées \((5\,;\,5{,}5)\), compter le décalage horizontal et le décalage vertical (en cm). Faire de même entre C et l’orange \((8\,;\,7{,}5)\). Qu’observe-t-on ?

  4. Avec ces deux décalages, comment obtenir la longueur du segment qui relie les deux points, « à vol d’oiseau » ? (Penser à un triangle rectangle.) Calculer cette longueur pour la mandarine et pour l’orange.

  5. Le plus proche voisin ne permet pas de décider pour C. Que proposer ? Essayer la règle 3 : quelle sorte obtient-on ?

Corrigé

7. Les binômes ne sont pas d’accord : certains voient la mandarine \((5\,;\,5{,}5)\), d’autres l’orange \((8\,;\,7{,}5)\), quelques-uns la mandarine \((6\,;\,4{,}5)\) ou le citron \((5\,;\,8)\).
8. Plusieurs réponses conviennent : mesurer à la règle, compter les carreaux, faire la somme des décalages… Toutes conviennent : l’essentiel est de se mettre d’accord sur une mesure.
9. Mandarine \((5\,;\,5{,}5)\) : \(1{,}5\) cm horizontalement (3 carreaux) et \(1\) cm verticalement (2 carreaux). Orange \((8\,;\,7{,}5)\) : exactement les mêmes décalages. C est à égale distance des deux.
10. Le segment est l’hypoténuse d’un triangle rectangle dont les côtés sont les deux décalages (Pythagore) : \(\sqrt{1{,}5^2 + 1^2} = \sqrt{3{,}25} \approx 1{,}80\) cm, pour la mandarine comme pour l’orange.
11. On peut regarder plus de voisins : les 3 plus proches de C sont la mandarine \((5\,;\,5{,}5)\) et l’orange \((8\,;\,7{,}5)\) (à \(1{,}80\) cm) puis la mandarine \((6\,;\,4{,}5)\) (à \(2{,}06\) cm) : la règle 3 prédit mandarine. Autres idées possibles : tirer au sort, préférer le voisin d’une sorte plus fréquente…

Exercice 4 — Mettre des mots #

  1. Recopier sur le cahier en complétant les trous (a) à (e) : « Pour deviner la sorte d’un fruit inconnu, on cherche parmi les fruits … (a) ceux qui sont les plus … (b) de lui, et on prend la sorte … (c) parmi eux. Il faut choisir … (d) on regarde de voisins, et une façon de mesurer la … (e) entre deux fruits. »

  2. Un ordinateur ne « voit » pas le graphique. De quoi a-t-il besoin pour appliquer la même méthode ?

Corrigé

12. « …parmi les fruits déjà connus (étiquetés) ceux qui sont les plus proches de lui, et on prend la sorte majoritaire parmi eux. Il faut choisir combien on regarde de voisins, et une façon de mesurer la distance entre deux fruits. »
13. Des nombres : les mesures de chaque fruit (ses coordonnées), la sorte des fruits connus, une formule de distance et une règle de vote (avec que faire en cas d’égalité). Le coup d’œil doit devenir un calcul.