Cours#

Cryptographie


Programme (BO)	« Sécurisation des communications. Décrire les principes de chiffrement symétrique (clé partagée) et asymétrique (clé publique / clé privée). Décrire l’échange d’une clé symétrique en utilisant un protocole de chiffrement asymétrique pour sécuriser une communication. »
Prérequis	la division euclidienne et le reste (opérateur `%`), la notion de coût d’un algorithme (croissance exponentielle), les réseaux et le fait qu’un paquet peut être intercepté. (→ fiches de révision : ch. 9)
Objectifs	chiffrer et déchiffrer avec un code symétrique ; comprendre l’idée du chiffrement asymétrique et dérouler RSA à la main ; expliquer l’échange de clé et le protocole HTTPS.

Situation de départ

Votre mot de passe traverse une dizaine de machines inconnues avant d’arriver au site. Comment reste-t-il secret, alors que n’importe qui peut intercepter les paquets ?
Deux personnes qui ne se sont jamais rencontrées peuvent-elles convenir d’un code secret en ne se parlant qu’en public ?
Que garantit exactement le petit cadenas affiché par votre navigateur ?

Le problème : se parler en secret au milieu de tous#

Vous tapez un mot de passe, vous payez en ligne, vous envoyez un message : ces données traversent une dizaine de machines que vous ne connaissez pas, sur un réseau où n’importe quel paquet peut être intercepté (chapitre précédent). Et pourtant, presque personne ne peut les lire. Comment garder un secret quand le message passe sous les yeux de tous ?

C’est la question de la cryptographie, l’art de rendre un message illisible pour tout autre que son destinataire. Une science aussi vieille que l’écriture, qui a fait basculer des guerres (Enigma), qui protège aujourd’hui plus de 90 % du trafic d’Internet, et qui repose sur une poignée d’idées d’une élégance stupéfiante.

Définition 1 — Le vocabulaire du secret

Chiffrer, c’est transformer un message clair en un message chiffré (illisible) à l’aide d’une clé. Déchiffrer, c’est faire l’opération inverse quand on possède la clé. Décrypter (ou « casser »), c’est retrouver le message clair sans posséder la clé : c’est le travail de l’attaquant (la cryptanalyse).

↺ Retour sur l'activité. Dans l’activité, vous avez décrypté le message intercepté, sans connaître la clé ; son destinataire, qui connaît $k$, l’aurait simplement déchiffré.

Remarque

On dit chiffrer / déchiffrer, jamais « crypter » (qui n’a pas de sens : on ne peut pas rendre secret sans clé). En revanche décrypter existe : c’est réussir à lire sans la clé.

Règle 1 — Le fil rouge : la clé, et rien que la clé

Tout au long du chapitre, une seule question : qui possède la clé ? Nous verrons deux grandes familles. Dans le chiffrement symétrique, une même clé secrète chiffre et déchiffre. Dans le chiffrement asymétrique, il y a deux clés jumelles : une publique (connue de tous) et une privée (jamais partagée). Comprendre la cryptographie moderne, c’est comprendre pourquoi il a fallu inventer la seconde pour résoudre le talon d’Achille de la première : comment échanger la clé ?

Propriété 1 — Principe de Kerckhoffs (1883)

La sécurité d’un système ne doit reposer que sur le secret de la clé, jamais sur le secret de l’algorithme. L’algorithme peut (et doit) être public : c’est en le publiant qu’on le fait éprouver par le monde entier. Un secret partagé par des milliers de personnes n’est plus un secret ; une clé, si.

Le chiffrement symétrique : une seule clé#

Définition 2 — Chiffrement symétrique

Un chiffrement est symétrique lorsque la même clé sert à chiffrer et à déchiffrer. Alice et Bob doivent donc partager un secret commun (la clé) avant de communiquer.

Le chiffre de César : le décalage#

Le plus vieux code connu : Jules César décalait chaque lettre de 3 rangs dans l’alphabet. Avec une clé $k$, la lettre de rang $x$ (A${}=0$, B${}=1$, …, Z${}=25$) devient la lettre de rang $(x+k)\bmod 26$.

Exemple

Avec $k=3$ : BONJOUR devient ERQMRXU. Pour déchiffrer, on décale de $3$ en arrière (soit $(x-3)\bmod 26$).

def cesar(message, k):
    resultat = ""
    for lettre in message:
        rang = ord(lettre) - ord("A")     # A->0, B->1, ...
        nouveau = (rang + k) % 26          # decalage circulaire
        resultat = resultat + chr(nouveau + ord("A"))
    return resultat

# chiffrer avec k, dechiffrer avec -k (ou 26-k)

Propriété 2 — Un code très faible

La clé de César est un nombre entre $0$ et $25$ : il n’y a que 26 clés possibles. Un attaquant les essaie toutes en une fraction de seconde (attaque par force brute). Pire : même sans force brute, une analyse des fréquences suffit. En français, la lettre la plus fréquente est le E ; la lettre la plus fréquente du texte chiffré est donc, très probablement, un E décalé — ce qui révèle la clé.

↺ Retour sur l'activité. C’est exactement l’attaque menée dans l’activité : P, de loin la lettre la plus fréquente du message, ne pouvait être qu’un E décalé, d’où $k=11$, et la deuxième, D, redonne bien un S. Le décalage déplace les fréquences sans les changer : un bon chiffrement doit les brouiller, ce que commence à faire Vigenère (ci-dessous).

Le chiffrement affine : un peu d’arithmétique#

On généralise César : la lettre de rang $x$ devient $(a\,x + b)\bmod 26$. La clé est le couple $(a,b)$.

Règle 2 — La condition sur $a$

Pour que le déchiffrement soit possible, il faut que $a$ soit premier avec $26$ (leur PGCD vaut $1$). Sinon, deux lettres différentes pourraient se chiffrer pareil : impossible de revenir en arrière. Les valeurs possibles de $a$ sont donc : $1, 3, 5, 7, 9, 11, 15, 17, 19, 21, 23, 25$.

Pour déchiffrer, on a besoin de l’inverse modulaire de $a$ : le nombre $a^{-1}$ tel que $a\times a^{-1}\equiv 1\ [26]$. Par exemple $5^{-1}\equiv 21\ [26]$ (car $5\times 21 = 105 = 4\times 26 + 1$). En Python : pow(5, -1, 26) renvoie 21. On retiendra ce mot inverse modulaire : il reviendra, central, dans RSA.

Vigenère : le « chiffre indéchiffrable »#

Faiblesse commune de César et affine : une lettre donnée est toujours chiffrée de la même façon. Blaise de Vigenère (XVI^e siècle) a l’idée d’utiliser une clé-mot répétée : chaque lettre du message est décalée selon la lettre correspondante de la clé.

Exemple

Message NSIROCKS, clé CLE répétée en CLECLECL. On additionne les rangs modulo $26$ ($N+C$, $S+L$, …) : on obtient PDMTZGMD. Avec la même clé, ANANAS devient CYEPLW : la même lettre du clair (les trois A) donne cette fois trois lettres chiffrées différentes (C, E, L).

Réputé incassable pendant trois siècles, il fut finalement percé par Charles Babbage (vers 1854) puis Friedrich Kasiski (1863) : la clé étant répétée, des motifs réapparaissent périodiquement et trahissent sa longueur.

Le masque jetable : le seul code inviolable#

Poussons l’idée de Vigenère à l’extrême : et si la clé était aussi longue que le message, totalement aléatoire, et utilisée une seule fois ? On obtient le masque jetable (one-time pad). En informatique, on ne décale plus les lettres : on combine chaque caractère du message avec la clé par un OU exclusif (XOR, noté ^), l’opération booléenne vue en Première, appliquée ici bit à bit.

Propriété 3 — Le XOR est son propre inverse

Le XOR a une propriété magique : $(m \oplus k)\oplus k = m$. La même opération, avec la même clé, chiffre et déchiffre. Une seule fonction suffit.

def chiffre(message, masque):
    resultat = ""
    for i in range(len(message)):
        code = ord(message[i]) ^ ord(masque[i])   # XOR caractere par caractere
        resultat = resultat + chr(code)
    return resultat
# chiffre(chiffre(msg, masque), masque) == msg   (le XOR s'annule)

Règle 3 — Pourquoi c’est prouvé inviolable

Supposons qu’Ève intercepte le chiffré de LUNDI. Comme le masque est aléatoire et aussi long que le message, tout clair de 5 lettres est possible : MARDI, JEUDI, STYLO… Il y a autant de masques que de clairs plausibles ($26^5$), et rien ne distingue le vrai des autres. Ève n’apprend rien. C’est la sécurité parfaite (ou inconditionnelle : aucune puissance de calcul n’y change rien), démontrée par Claude Shannon (1949).

Remarque

Le masque jetable est inviolable… en théorie. En pratique, il est peu commode : il faut une clé aussi longue que tout ce qu’on veut s’envoyer, vraiment aléatoire, et jamais réutilisée (réutiliser un masque casse tout). Le « téléphone rouge » Moscou–Washington l’utilisait pendant la Guerre froide.

AES : le standard d’aujourd’hui#

Les codes modernes ne travaillent plus lettre par lettre mais bit par bit, par blocs. Le plus utilisé est l’AES (Advanced Encryption Standard, 2001) :

il chiffre des blocs de 128 bits rangés dans une matrice $4\times 4$ d’octets ;
une clé de 128, 192 ou 256 bits pilote une série de brouillages (substitutions, décalages, mélanges) ;
pour l’AES-256, une attaque par force brute demanderait $2^{256}$ essais — un nombre à 78 chiffres, hors de portée de toute machine ;
aucune attaque efficace n’est connue à ce jour. C’est un chiffrement symétrique… et il est excellent.

Règle 4 — Le talon d’Achille du symétrique

Le chiffrement symétrique est rapide et robuste : parfait pour de gros volumes. Mais il a un défaut fatal : Alice et Bob doivent déjà partager la clé secrète. Comment l’échanger sur un réseau où tout est intercepté, sans s’être jamais rencontrés ? C’est le problème de l’échange de clé — et pendant des siècles, on a cru qu’il était insoluble.

▶ Exercices d'application : exercices 1 à 5 (César, affine, Vigenère, masque jetable)

Le chiffrement asymétrique : deux clés jumelles#

En 1976, Whitfield Diffie et Martin Hellman (Stanford) publient une idée qui retourne 2000 ans de cryptographie : et si les deux clés étaient différentes ?

Un peu d’histoire. Passionné de cryptographie, à une époque où ce domaine était presque entièrement réservé aux militaires, Whitfield Diffie avait sillonné les États-Unis au début des années 1970 pour rencontrer les rares chercheurs qui s’y intéressaient ; c’est ainsi qu’il rejoint Martin Hellman à Stanford. Leur article de 1976, New Directions in Cryptography, fonde la cryptographie à clé publique et leur vaut le prix Turing en 2015.

Whitfield Diffie

Définition 3 — Chiffrement asymétrique (à clé publique)

Chaque personne possède une paire de clés jumelles :

une clé publique, qu’elle distribue à qui veut (comme un cadenas ouvert) ;
une clé privée, qu’elle garde secrète et ne partage jamais.

Un message chiffré avec la clé publique ne peut être déchiffré que par la clé privée associée — et réciproquement. Surtout : connaître la clé publique ne permet pas de retrouver la clé privée.

Bob veut écrire à Alice ? Il prend le cadenas public d’Alice (que tout le monde peut copier), ferme la boîte avec, et l’envoie. Seule Alice, qui a la clé privée, peut l’ouvrir — même Bob ne le pourrait plus !

Deux clés aux rôles interchangeables#

Appelons les deux clés d’Alice $A$ (privée) et $B$ (publique). Elles vérifient deux propriétés remarquables :

on ne peut pas déduire l’une de l’autre ;
ce qui est chiffré avec l’une se déchiffre avec l’autre, dans les deux sens.

Cette symétrie ouvre deux usages selon la clé avec laquelle on commence :

On chiffre avec…	On déchiffre avec…	But
la clé publique du destinataire	sa clé privée	confidentialité (seul lui lira)
sa propre clé privée	la clé publique de l’expéditeur	authentification (signature)

L’échange de clé de Diffie-Hellman#

Avant même RSA, Diffie et Hellman résolvent le fameux problème de l’échange de clé : permettre à Alice et Bob de fabriquer une clé secrète commune en public, sans se l’être jamais transmise.

Règle 5 — L’image des pots de peinture

Alice et Bob conviennent publiquement d’une couleur commune. Chacun y ajoute en secret sa propre couleur, et s’échange le mélange (impossible à « dé-mélanger »). Enfin, chacun rajoute sa couleur secrète au mélange reçu : ils obtiennent la même couleur finale, qu’Ève, elle, ne peut pas reconstituer. La « peinture » mathématique est l’exponentiation modulaire.

Exemple

Publics : $p=23$, $g=5$. Alice choisit en secret $a=6$ et publie $A=5^{6}\bmod 23 = 8$. Bob choisit $b=15$ et publie $B=5^{15}\bmod 23 = 19$. Chacun calcule alors le secret commun : Alice fait $B^{a}=19^{6}\bmod 23 = 2$ ; Bob fait $A^{b}=8^{15}\bmod 23 = 2$. Même résultat : $2$, sans jamais l’avoir transmis ! Ève connaît $p,g,A,B$ mais ne peut pas retrouver $a$ ni $b$ (c’est le problème du logarithme discret, très difficile).

Authentification : la signature numérique#

Le chiffrement asymétrique ne fait pas que cacher : il prouve l’identité. Si Alice chiffre un message avec sa clé privée (que personne d’autre ne possède), alors n’importe qui peut le déchiffrer avec sa clé publique — et si ça marche, c’est la preuve que le message vient bien d’Alice. C’est le principe de la signature numérique, qui résout le problème de l’authentification : être sûr que l’interlocuteur est bien celui qu’il prétend être.

▶ Exercices d'application : exercice 6 (symétrique ou asymétrique ?)

RSA : le chiffrement asymétrique, en vrai#

Diffie et Hellman avaient l’idée du chiffrement à clé publique, mais pas de recette concrète. Elle vient un an plus tard.

Une histoire à rebondissement#

Pour les curieux (facultatif) — La double invention

En 1977 au MIT, Ron Rivest, Adi Shamir et Leonard Adleman cherchent à prouver qu’une telle recette est impossible… et démontrent l’inverse : ils inventent RSA (leurs initiales). Coup de théâtre : on apprendra en 1997 que le Britannique Clifford Cocks, au service secret GCHQ, avait trouvé exactement le même système quatre ans plus tôt (1973), mais classé « Secret Défense ». Il fut le véritable inventeur… que le monde ignora près de vingt-cinq ans.

Rappel : l’arithmétique modulaire#

Faire des calculs modulo $n$, c’est ne garder que le reste de la division par $n$. On écrit $15\equiv 1\ [7]$ (lire « $15$ est congru à $1$ modulo $7$ ») car $15 = 2\times 7 + 1$. RSA repose entièrement là-dessus.

Étape par étape : la fabrication des clés#

Règle 6 — Générer une paire de clés RSA

Choisir deux grands nombres premiers $p$ et $q$ (dans la réalité : environ $300$ chiffres chacun, pour un $n$ de $2\,048$ bits, soit $617$ chiffres).
Calculer $n = p\times q$. Ce nombre $n$ sera public.
Calculer $\varphi = (p-1)(q-1)$, puis choisir $e$ premier avec $\varphi$.
La clé publique est le couple $(e, n)$.
Calculer $d$, l’inverse modulaire de $e$ : le nombre tel que $e\times d\equiv 1\ [\varphi]$.
La clé privée est le couple $(d, n)$.

Exemple — Fabrication complète, avec de petits nombres

Prenons $p=3$ et $q=11$.

$n = 3\times 11 = 33$.
$\varphi = (3-1)(11-1) = 2\times 10 = 20$. On choisit $e=3$ (premier avec $20$).
Clé publique : $(3,\,33)$, diffusée à tous.
On cherche $d$ tel que $3d\equiv 1\ [20]$. Comme $3\times 7 = 21 = 20+1$, on a $d=7$. En Python : pow(3, -1, 20) renvoie 7.
Clé privée : $(7,\,33)$, gardée secrète.

Chiffrer et déchiffrer#

Règle 7 — Les deux opérations RSA

Pour un message-nombre $M$ (avec $0\le M < n$) : $$\text{chiffrer :}\quad C = M^{e}\bmod n \qquad\qquad \text{déchiffrer :}\quad M = C^{d}\bmod n$$

Exemple — Bob écrit à Alice

Bob veut envoyer le nombre $M=4$. Il a la clé publique d’Alice $(3,33)$ : $$C = 4^{3}\bmod 33 = 64 \bmod 33 = 31.$$ Il transmet 31. Alice reçoit $31$ et applique sa clé privée $(7,33)$ : $$M = 31^{7}\bmod 33 = 27\,512\,614\,111 \bmod 33 = 4.$$ Elle retrouve $4$, le message de Bob. Ève, qui a vu passer $31$ et connaît $(3,33)$, ne peut pas résoudre $x^{3}\equiv 31\ [33]$ efficacement.

Le principe est toujours le même, quels que soient $p$, $q$ et $e$ : d’autres jeux de clés sont fabriqués et vérifiés en Python dans le TP proposé en fin de chapitre.

Pourquoi c’est sûr, et pourquoi ça marche#

Règle 8 — La sécurité repose sur la factorisation

La clé publique donne $n$. Pour retrouver la clé privée $d$, il faudrait connaître $\varphi=(p-1)(q-1)$, donc retrouver $p$ et $q$ à partir de $n$ : factoriser $n$. Or multiplier deux grands premiers est facile, mais pour l’opération inverse (factoriser), on ne connaît aucun algorithme efficace : les meilleures méthodes connues demandent un temps qui explose avec la taille de $n$. Avec un $n$ de plusieurs centaines de chiffres, aucune machine actuelle n’y parvient. Le plus grand $n$ factorisé (2020) avait $250$ chiffres.

Démonstration — au-delà du programme pourquoi le déchiffrement retombe sur $M$

Comme $e\times d\equiv 1\ [\varphi]$, le petit théorème de Fermat (et sa généralisation d’Euler) permet de montrer que $M^{ed}\equiv M\ [n]$. Or déchiffrer, c’est calculer $C^{d} = (M^{e})^{d} = M^{ed}\equiv M\ [n]$ : on retombe exactement sur le message. Les rôles de $e$ et $d$ étant symétriques ($M^{ed}=M^{de}$), on peut aussi bien chiffrer avec la privée et déchiffrer avec la publique — c’est ce qui autorise la signature.

RSA en Python#

Python fait tous ces calculs grâce à la fonction pow « à trois arguments » : pow(M, e, n) calcule $M^{e} \bmod n$ par exponentiation modulaire rapide, sans jamais construire le nombre géant $M^{e}$ ; et pow(e, -1, phi) calcule l’inverse modulaire $d$. Sur l’exemple ci-dessus, pow(3, -1, 20) renvoie 7, pow(4, 3, 33) renvoie 31 (chiffrement) et pow(31, 7, 33) renvoie 4 (déchiffrement).

Règle 9 — En quel langage écrit-on la vraie cryptographie ?

Les programmes Python de ce chapitre simulent l’algorithme pour le comprendre. La cryptographie réelle (celle de votre navigateur) est écrite en C et en assembleur, pour la vitesse et pour maîtriser chaque détail : une simple variation du temps de calcul peut fuiter la clé (attaque par canal auxiliaire). On ne « bricole » jamais sa propre crypto en production : on utilise des bibliothèques éprouvées.

RSA est-il éternel ? (l’ombre quantique)#

Pour les curieux (facultatif)

Deux évènements pourraient faire tomber RSA : (1) la découverte d’un algorithme classique rapide de factorisation (régulièrement annoncée, régulièrement démentie) ; (2) surtout, l’ordinateur quantique. L’algorithme de Shor (1994) factorise en temps polynomial sur une telle machine : le jour où un ordinateur quantique assez grand existera, RSA s’effondrera. C’est pourquoi les chercheurs préparent déjà la cryptographie post-quantique.

▶ Exercices d'application : exercices 7 à 10 (RSA, inverse modulaire, Diffie-Hellman)

HTTPS : le mariage des deux mondes#

Aujourd’hui, le petit cadenas de votre navigateur signifie HTTPS : le trafic est chiffré. Mais avec quoi ? Ni l’un ni l’autre seul :

le symétrique (AES) est rapide mais suppose une clé déjà partagée ;
l’asymétrique (RSA) résout l’échange de clé mais est lent (gros calculs).

Règle 10 — L’idée de HTTPS : le meilleur des deux

On utilise l’asymétrique juste au début, pour échanger en sécurité une clé de session symétrique. Puis, tout le reste de la communication (les vraies données, en volume) est chiffré avec cette clé symétrique, bien plus rapide. HTTPS $=$ TLS (l’échange de clé, asymétrique) $+$ HTTP chiffré (les données, symétrique).

La poignée de main TLS (handshake)#

À retenir — le rôle du certificat

Le certificat et l’autorité de certification apportent l’authentification : sans eux, un attaquant pourrait se placer au milieu (man in the middle) en présentant sa clé publique à la place de celle du serveur. Le certificat, signé par une autorité de confiance, garantit que la clé publique est bien celle du bon serveur.

▶ Exercices d'application : exercice 11 (le cadenas HTTPS du navigateur)

Ouverture#

La cryptographie avance avec ses attaquants : chaque progrès du calcul oblige à revoir les tailles de clés et les algorithmes.

Une course sans fin. Les clés grandissent avec la puissance de calcul : un $n$ de $512$ bits a été factorisé en 1999, et l’on recommande aujourd’hui au moins $2\,048$ bits pour RSA ; contre l’ordinateur quantique, des algorithmes dits post-quantiques sont déjà normalisés au-delà du programme.
Au bac, on vous demandera surtout de programmer ou dérouler un chiffrement simple (César, Vigenère, XOR), de distinguer chiffrement symétrique et asymétrique, et d’expliquer le rôle de chacun dans HTTPS.

Pour les curieux (facultatif) — Liens avec d’autres chapitres

Ce qu’il réutilise : les Réseaux : un paquet traverse des routeurs inconnus ; HTTPS chiffre le message avant qu’il ne descende les couches TCP/IP.
Une question de coût : la sécurité de RSA parie que factoriser reste difficile ; vous relierez cela à « P versus NP » en Calculabilité et décidabilité.
Pour aller plus loin : vous retrouverez le module AES intégré aux puces en Systèmes sur puce et informatique embarquée.

Bilan — la carte mémoire#

Notion	À retenir
Chiffrer / déchiffrer / décrypter	avec clé / avec clé / sans clé (l’attaquant)
Kerckhoffs	la sécurité repose sur la clé, pas sur l’algorithme (public)
Symétrique	une clé partagée ; rapide ; ex. César, Vigenère, masque, AES
Masque jetable	clé aléatoire aussi longue, jetable $\Rightarrow$ inviolable (Shannon)
Défaut du symétrique	échanger la clé sur un canal non sûr
Asymétrique	2 clés jumelles : publique (chiffre) / privée (déchiffre)
Diffie-Hellman	fabriquer une clé commune en public (exponentiation mod.)
Authentification	chiffrer avec sa clé privée $=$ signer
RSA	$n=pq$ ; $\varphi=(p{-}1)(q{-}1)$ ; $(e,n)$ publique, $(d,n)$ privée
RSA (formules)	$C=M^{e}\bmod n$ ; $M=C^{d}\bmod n$ ; `d = pow(e,-1,phi)`
Sécurité de RSA	difficulté de factoriser $n$ ; menace : Shor (quantique)
HTTPS	asymétrique pour échanger la clé $+$ symétrique pour les données

Retour à la situation de départ

Il est chiffré : seul le détenteur de la clé peut le déchiffrer, et l’attaquant qui intercepte le chiffré ne lit rien — à condition que la clé résiste à la force brute et que le code ne trahisse pas les fréquences des lettres (§ I et II).
Oui : l’échange de Diffie-Hellman fabrique une clé commune en public. Plus généralement, le chiffrement asymétrique chiffre avec la clé publique du destinataire, et seule sa clé privée déchiffre, comme dans RSA (§ III et IV).
Il signale HTTPS : le certificat authentifie le serveur, l’asymétrique sert à échanger une clé de session, puis toutes les données sont chiffrées en symétrique (AES), bien plus rapide (§ V).

Erreurs fréquentes#

Dire « crypter ». On dit chiffrer / déchiffrer (avec clé) et décrypter (sans clé, l’attaquant).
Croire que César ou Vigenère sont sûrs. $26$ clés pour César ; Vigenère tombe par l’analyse des motifs répétés.
Confondre les deux clés dans le bon sens. Pour la confidentialité, on chiffre avec la clé publique du destinataire. Pour signer, on chiffre avec sa propre clé privée.
Oublier la condition « $e$ premier avec $\varphi$ » (et « $a$ premier avec $26$ » pour l’affine) : sans elle, pas d’inverse modulaire, donc pas de déchiffrement.
Calculer $\varphi$ avec $n$. C’est $\varphi=(p-1)(q-1)$, pas $n-1$.
Penser que HTTPS n’utilise que RSA. RSA sert seulement à échanger la clé ; les données sont chiffrées en symétrique (AES), car c’est rapide.

Savoir-faire à maîtriser#

À la fin du chapitre, je sais…

chiffrer et déchiffrer par décalage (César), par le masque jetable / XOR $\to$ ex. 1, 2, 5 ;
expliquer la différence symétrique / asymétrique et le problème de l’échange de clé $\to$ ex. 6, 10 ;
dérouler RSA : calculer $n$, $\varphi$, choisir $e$, trouver $d$, chiffrer et déchiffrer un nombre $\to$ ex. 7, 8, 9 ;
expliquer l’authentification (signer avec la clé privée) et le rôle d’un certificat $\to$ ex. 6, 11 ;
décrire le fonctionnement de HTTPS (asymétrique pour la clé, symétrique pour les données) $\to$ ex. 11, 14.

Vers le Grand Oral#

Comment garder un secret quand tout le monde peut lire le message ? (chiffrement, clé, Kerckhoffs ; du César au masque jetable inviolable.)
Comment deux inconnus peuvent-ils fabriquer un secret commun en public ? (le coup de génie de Diffie-Hellman ; l’échange de clé.)
Pourquoi peut-on publier une clé sans compromettre le secret ? (clé publique / privée ; RSA ; la difficulté de factoriser.)
Que signifie vraiment le petit cadenas de mon navigateur ? (HTTPS $=$ TLS $+$ AES ; certificat et autorité de certification.)
L’ordinateur quantique va-t-il casser Internet ? (algorithme de Shor ; factorisation ; cryptographie post-quantique.)

Un peu d’histoire#

Pour les curieux (facultatif)

La cryptographie a changé le cours de l’Histoire. Pendant la Seconde Guerre mondiale, l’armée allemande chiffrait ses ordres avec la machine Enigma, réputée inviolable : ses rotors, qui tournent à chaque lettre frappée, changent la substitution à chaque caractère, avec environ $10^{20}$ réglages possibles. À Bletchley Park, une équipe menée par Alan Turing construisit une machine électromécanique, la « Bombe », pour la casser : les historiens estiment que cet exploit a raccourci la guerre de deux ans. Turing, père de l’informatique théorique, fut aussi l’un des plus grands cryptanalystes de l’Histoire. Dès 1883, Auguste Kerckhoffs avait énoncé le principe qui gouverne encore toute la discipline : ne comptez jamais sur le secret de la méthode, seulement sur celui de la clé.

Une machine Enigma à trois rotors